Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=2，AA₁=2，由顶点B沿棱柱侧面经过棱AA₁到顶点C₁的最短路线与AA₁的交点记为M，求：
（I）三棱柱的侧面展开图的对角线长
（II）该最短路线的长及的值
（III）平面C₁MB与平面ABC所成二面角（锐角）的大小

Answer

（1）正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开图是长为6，宽为2的矩形，直接可以求出对角线长；
（2）将侧面AA1B1B绕棱AA1旋转120°使其与侧面AA1C1C在同一平面上，点B运动到点D的位置，连接DC1交AA1于M，则DC1就是由顶点B沿棱柱侧面经过棱AA1到顶点C1的最短路线，求出DC1和的值即可；
（3）连接DB，C1B，可证∠C1BC就是平面C1MB与平面ABC所成二面角的平面角，在三角形C1BC中求出此角．
【解析】
（I）正三棱柱ABC-A1B1C1的侧面展开图是长为6，宽为2的矩形
其对角线长为．

（II）如图，将侧面AA1B1B绕棱AA1旋转120°使其与侧面AA1C1C在同一平面上，点B运动到点D的位置，连接DC1交AA1于M，则DC1就是由顶点B沿棱柱侧面经过棱AA1到顶点C1的最短路线，其长为∵△DMA≌△C1MA1，∴AM=A1M
故

（III）连接DB，C1B，
则DB就是平面C1MB与平面ABC的交线在△DCB中，
∵∠DBC=∠CBA+∠ABD=60°+30°=90°，
∴CB⊥DB，
又C1C⊥平面CBD，
由三垂线定理得C1B⊥DB，∴∠C1BC就是平面C1MB与平面ABC所成二面角的平面角（锐角），
∵侧面C1B1BC是正方形，∴∠C1BC=45°，
故平面C1MB与平面ABC所成的二面角（锐角）为45°．