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给定有限个正数满足条件T:每个数都不大于50且总和L=1275.现将这些数按下列...

给定有限个正数满足条件T:每个数都不大于50且总和L=1275.现将这些数按下列要求进行分组,每组数之和不大于150且分组的步骤是:
首先,从这些数中选择这样一些数构成第一组,使得150与这组数之和的差r1与所有可能的其他选择相比是最小的,r1称为第一组余差;
然后,在去掉已选入第一组的数后,对余下的数按第一组的选择方式构成第二组,这时的余差为r2;如此继续构成第三组(余差为r3)、第四组(余差为r4)、…,直至第N组(余差为rN)把这些数全部分完为止.
(I)判断r1,r2,…,rN的大小关系,并指出除第N组外的每组至少含有几个数
(II)当构成第n(n<N)组后,指出余下的每个数与rn的大小关系,并证明manfen5.com 满分网
(III)对任何满足条件T的有限个正数,证明:N≤11.
(I)由r1≤r2≤≤rN,知除第N组外的每组至少含有个数. (II)当第n组形成后,因为n<N,所以L-[(150-r1)+(150-r2)++(150-rn)]>rn,由此可得r1+r2+…+rn-1>150n-L ,从而能够证明. (III)假设N>11,即第11组形成后,还有数没分完,余下的每个数,因为第11组数中至少含有3个数,所以第11组数之和大于37.5×3=112.5,r11<37.5,与r11>37.5矛盾,所以N≤11. 【解析】 (I)r1≤r2≤≤rN.除第N组外的每组至少含有个数 (II)当第n组形成后,因为n<N,所以还有数没分完,这时余下的每个数必大于余差rn,余下数之和也大于第n组的余差rn,即L-[(150-r1)+(150-r2)++(150-rn)]>rn 由此可得r1+r2++rn-1>150n-L 因为(n-1)rn-1≥r1+r2++rn-1,所以 (III)用反证法证明结论,假设N>11,即第11组形成后,还有数没分完,由(I)和(II)可知,余下的每个数都大于第11组的余差r11,且r11≥r10 故余下的每个数(*) 因为第11组数中至少含有3个数,所以第11组数之和大于37.5×3=112.5 此时第11组的余差r11=150-第11组数之和<150-112.5=37.5 这与(*)式中r11>37.5矛盾,所以N≤11.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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