Question

若数列{a_n}满足：对任意的n∈N^﹡，只有有限个正整数m使得a_m＜n成立，记这样的m的个数为（a_n）⁺，则得到一个新数列{（a_n）⁺}．例如，若数列{a_n}是1，2，3…，n，…，则数列{（a_n）⁺}是0，1，2，…，n-1…已知对任意的n∈N⁺，a_n=n²，则（a₅）⁺=    ，（（a_n）⁺）⁺=    ．

Answer

根据题意，若am＜5，而an=n2，知m=1，2，∴（a5）+=2，由题设条件可知（（a1）+）+=1，（（a2）+）+=4，（（a3）+）+=9，（（a4）+）+=16，于是猜想：（（an）+）+=n2．
【解析】
∵am＜5，而an=n2，∴m=1，2，∴（a5）+=2．
∵（a1）+=0，（a2）+=1，（a3）+=1，（a4）+=1，
（a5）+=2，（a6）+=2，（a7）+=2，（a8）+=2，（a9）+=2，
（a10）+=3，（a11）+=3，（a12）+=3，（a13）+=3，（a14）+=3，（a15）+=3，（a16）+=3，
∴（（a1）+）+=1，（（a2）+）+=4，（（a3）+）+=9，（（a4）+）+=16，
猜想：（（an）+）+=n2．
答案：2，n2．