Question

如图是某城市通过抽样得到的居民某年的月均用水量（单位：吨）的频率分布直方图．
（Ⅰ）求直方图中x的值．
（Ⅱ）若将频率视为概率，从这个城市随机抽取3位居民（看作有放回的抽样），求月均用水量在3至4吨的居民数X的分布列和数学期望．

Answer

本题考查的知识点是频率分布直方图、离散型随机变量及其分布列和数学期望．
（1）根据频率分布直方图中，各组的频率之和为1，我们易得到一个关于x的方程，解方程即可得到答案．
（2）由频率分布直方图中月均用水量各组的频率，我们易得X～B（3，0.1）．然后将数据代入后，可分别算出P（X=0），P（X=1），P（X=2），P（X=3）的值，代入即可得到随机变量X的分布列，然后代入数学期望公式，可进而求出数学期望．
【解析】
（Ⅰ）依题意及频率分布直方图知，0.02+0.1+x+0.37+0.39=1，解得x=0.12．
（Ⅱ）由题意知，X～B（3，0.1）．
因此P（X=0）=C3×0.93=0.729，
P（X=1）=C31×0.1×0.92=0.243，
P（X=2）=C32×0.12×0.9=0.027，
P（X=3）=C33×0.13=0.001．
故随机变量X的分布列为：

 X  0 1  2  3 
 P 0.729  0.243  0.027  0.001 

X的数学期望为EX=3×0.1=0.3．