Question

有一个四棱柱，底面是菱形ABCD，∠A′AB=∠A′AD（如图），求证：平面A′ACC′垂直于底面ABCD．

Answer

由∠A'AB=∠A'AD得：A'在底面ABCD的射影应在∠BAD的角平分线上，由四边形ABCD是菱形可知：∠BAD的角平分线即为AC，所以平面A'ACC'垂直于底面ABCD．观察可知：可证DB⊥底面A'ACC'
证明：设底面是菱形ABCD的对角线相交于O，连接A'D，A'O，A'B．
在△A'AB与△A'AD中，
∵A'A=A'A，∠A'AB=∠A'AD，AB=AD，
△A'AB≌△A'AD，
∴A'B=A'D，
△A'BD为等腰三角形
又∵O为DB的中点，
∴A'O⊥DB
由菱形性质，DB⊥AC，
∴DB垂直于底面A'ACC'，
但底面ABCD是经过DB的，
故平面A'ACC'垂直于底面ABCD．