Question

若三角形的三个角成等差级数，则其中有一个角一定是60°；若这样的三角形的三边又成等比级数，则三个角都是60°，试证明之．

Answer

①设△ABC的三个角为A、B、C，由题意可得2B=A+C，进而根据三角形内角和求得B，进而可知△ABC必有一个角为60°；
②设∠B=60°．△ABC的三边a，b，c成等比级数，可知b2=ac．进而代入余弦定理求得a=c，判断出此三角形为正三角形．
证①：设△ABC的三个角为A、B、C，由题意可得
B-A=C-B，
∴2B=A
但∵A+B+C=180°，
即3B=180°，B=60°．
证②：由（1）已知△ABC必有一个角为60°，今设∠B=60°．
∵△ABC的三边a，b，c成等比级数，
∴b2=ac．
又由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB，b2=a2+c2-2ac，
∴a2+c2-2ac=0，（a-c）2=0∴a=c．
∵∠B=60°，BA=BC，
∴∠A=∠C=60°
故△ABC为等边三角形，即其三个内角均为60°．