Question

（1）求右焦点坐标是（2，0），且经过点的椭圆的标准方程；
（2）已知椭圆C的方程是（a＞b＞0）．设斜率为k的直线l，交椭圆C于A、B两点，AB的中点为M．证明：当直线l平行移动时，动点M在一条过原点的定直线上．

Answer

（1）求椭圆的方程关键是计算a2与b2的值，由焦点F（2，0）且经过点的椭圆的标准方程，构造方程组，解方程组即可求出a2与b2的值，代入即可得到椭圆的标准方程．
（2）本题的解答要用到“设而不求”的思想，即设出直线与椭圆两交点的坐标，然后将直线方程代入椭圆的方程，利用韦达定理找出点横、纵坐标和与积的关系，代入验证．
【解析】
（1）设椭圆的标准方程为，a＞b＞0，
所以a2=b2+4，即椭圆的方程为，
又点（）在椭圆上，所以，
解得b2=4或b2=-2（舍），
由此得a2=8，即椭圆的标准方程为．、
（2）设直线l的方程为y=kx+m，与椭圆C的交点A（x1，y1）、B（x2，y2），
则有，
解得（b2+a2k2）x2+2a2kmx+a2m2-a2b2=0，△＞0，所以m2＜b2+a2k2，即．
则，
所以AB中点M的坐标为．
所以线段AB的中点M在过原点的直线b2x+a2ky=0上．