Question

已知a为实数，．
（1）求证：对于任意实数a，y=f（x）在（-∞，+∞）上是增函数；
（2）当f（x）是奇函数时，若方程f^-1（x）=log₂（x+t）总有实数根，求实数t的取值范围．

Answer

（1）设x1＞x2，代入函数解析式利用指数函数的单调性求得f（x1）-f（x2）＞0，进而可知f（x1）＞f（x2）推断出函数为增函数．
（2）利用f（x）是奇函数时，可推断出f（0）=0求得a，进而求得f-1（x）的解析式，利用题设等式求得t的表达式，最后利用基本不等式求得t的最小值，进而求得t的范围．
【解析】
（1）设x1＞x2，
则f（x1）-f（x2）=-+
∴x1＞x2，
∴＞
∴＜
∴f（x1）-f（x2）=-+＞0
∴f（x1）＞f（x2）
∴函数f（x）在定义域上为增函数．
（2）因为f（x）是R上的奇函数，所以，
即a=1．
由得
当且仅当，即时等号成立，
所以，t的取值范围是．