Question

给定抛物线C：y²=4x，F是C的焦点，过点F的直线l与C相交于A、B两点．
（Ⅰ）设l的斜率为1，求与夹角的大小；
（Ⅱ）设=，若λ∈[4，9]，求l在y轴上截距的变化范围．

Answer

（I）由抛物线方程可求得焦点坐标，进而根据直线斜率得到l的方程与抛物线方程联立消去y，进而设A（x1，y1），B（x2，y2），根据韦达定理可求得x1+x2和x1x2，进而求得，最后可求得cos＜＞得到夹角的值．
（II）根据得关于x2和y2的方程组，进而求得x2=λ．得到B的坐标，根据焦点坐标可得直线的方程，进而求得直线在y轴上的截距，根据=，判断在[4，9]上是递减的，进而得到答案．
【解析】
（I）C的焦点为F（1，0），直线l的斜率为1，所以l的方程为y=x-1．
将y=x-1代入方程y2=4x，并整理得x2-6x+1=0．
设A（x1，y1），B（x2，y2），则有x1+x2=6，x1x2=1，=（x1，y1）•（x2，y2）=x1x2+y1y2=2x1x2-（x1+x2）+1=-3.
cos＜＞=
所以与夹角的大小为π-arccos．
【解析】
（II）由题设知得：（x2-1，y2）=λ（1-x1，-y1），即
由（2）得y22=λ2y12，∵y12=4x1，y22=4x2，∴x2=λ2x1（3）
联立（1）（3）解得x2=λ．依题意有λ＞0．
∴B（λ，2）或B（λ，-2），又F（1，0），
得直线l的方程为（λ-1）y=2（x-1）或（λ-1）y=-2（x-1）
当λ∈[4，9]时，l在y轴上的截距为或-
由=，可知在[4，9]上是递减的，
∴，--
直线l在y轴上截距的变化范围是．