Question

已知函数f（x）=ln（1+x）-x，g（x）=xlnx．
（Ⅰ）求函数f（x）的最大值；
（Ⅱ）设0＜a＜b，证明0＜g（a）+g（b）-2g（）＜（b-a）ln2．

Answer

（1）先求出函数的定义域，然后对函数进行求导运算，令导函数等于0求出x的值，再判断函数的单调性，进而可求出最大值．
（2）先将a，b代入函数g（x）得到g（a）+g（b）-2g（）的表达式后进行整理，根据（1）可得到lnx＜x，将、放缩变形为、代入即可得到左边不等式成立，再用根据y=lnx的单调性进行放缩＜．然后整理即可证明不等式右边成立．
（Ⅰ）【解析】
函数f（x）的定义域为（-1，+∞）．
．令f′（x）=0，解得x=0．
当-1＜x＜0时，f′（x）＞0，当x＞0时，f′（x）＜0．又f（0）=0，
故当且仅当x=0时，f（x）取得最大值，最大值为0．
（Ⅱ）证明：
=．
由（Ⅰ）结论知ln（1+x）-x＜0（x＞-1，且x≠0），
由题设，
因此，
，
所以．
又，
＜．=（b-a）ln＜（b-a）ln2
综上．