Question

已知锐角三角形ABC中，sin（A+B）=，sin（A-B）=．
（Ⅰ）求证：tanA=2tanB；
（Ⅱ）设AB=3，求AB边上的高．

Answer

（1）把角放在锐角三角形中，使一些运算简单起来，本题主要考查两角和与差的正弦公式，根据分解后的结构特点，解方程组，做比得到结论．
（2）同角的三角函数之间的关系，换元解方程在直角三角形中，用定义求的结果
（I）证明：∵sin（A+B）=，sin（A-B）=，
∴sinAcosB+cosAsinB=，sinAcosB-cosAsinB=，
∴sinAcosB=，cosAsinB=，
∴tanA=2tanB．
（2）【解析】
∵＜A+B＜π，，∴，
即，将tanA=2tanB代入上式并整理得2tan2B-4tanB-1=0
解得，因为B为锐角，所以，∴tanA=2tanB=2+．
设AB上的高为CD，则AB=AD+DB=，由AB=3得CD=2+
故AB边上的高为2+．