Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，∠ACB=90^o，AC=1，CB=，侧棱AA₁=1，侧面AA₁B₁B的两条对角线交点为D，B₁C₁的中点为M．
（Ⅰ）求证：CD⊥平面BDM；
（Ⅱ）求面B₁BD与面CBD所成二面角的大小．

Answer

法一：（Ⅰ）如图，连接CA1、AC1、CM，要证CD⊥平面BDM，只需证明直线CD垂直平面BDM内两条相交直线A1B、DM即可；
（Ⅱ）设F、G分别为BC、BD的中点，连接B1G、FG、B1F，说明∠B1GF
是所求二面角的平面角，然后解三角形，求面B1BD与面CBD所成二面角的大小．
法二：（Ⅰ）建立空间直角坐标系，求出相关向量计算即得证，
（Ⅱ）求出面B1BD与面CBD的法向量，利用向量的数量积求解可得答案．
【解析】
法一：（I）如图，连接CA1、AC1、CM，则CA1=，
∵CB=CA1=，∴△CBA1为等腰三角形，
又知D为其底边A1B的中点，∴CD⊥A1B，
∵A1C1=1，C1B1=，∴A1B1=，
又BB1=1，∴A1B=2，
∵△A1CB为直角三角形，D为A1B的中点，CD=A1B=1，CD=CC1．
又DM=AC1=，DM=C1M，∴△CDN≌△CC1M，∠CDM=∠CC1M=90°，即CD⊥DM，
因为A1B、DM为平面BDM内两条相交直线，所以CD⊥平面BDM．

（II）设F、G分别为BC、BD的中点，连接B1G、FG、B1F，
则FG∥CD，FG=CD．∴FG=，FG⊥BD．
由侧面矩形BB1A1A的对角线的交点为D，知BD=B1D=A1B=1，
所以△BB1D是边长为1的正三角形，于是B1G⊥BD，B1G=，
∴∠B1GF是所求二面角的平面角．
又B1F2=B1B2+BF2=1+（）2=．
∴cos∠B1GF=．
即所求二面角的大小为π-arccos．

法二：如图以C为原点建立坐标系．
（I）B（，0，0），B1（，1，0），A1（0，1，1），D（，，），
M（，1，0），=（，，），=（，-1，-1），=（0，，-），，
∴CD⊥A1B，CD⊥DM．
因为A1B、DM为平面BDM内两条相交直线，
所以CD⊥平面BDM．

（II）设BD中点为G，连接B1G，
则G，=（-，，），=，
∴，∴BD⊥B1G，
又CD⊥BD，∴与的夹角θ等于所求二面角的平面角，
cos
所以所求二面角的大小为π-arccos．