Question

数列{a_n}的前n项和记为S_n，已知a₁=1，a_n+1=S_n（n=1，2，3，…）．证明：
（Ⅰ）数列{}是等比数列；
（Ⅱ）S_n+1=4a_n．

Answer

（Ⅰ）要证数列{}是等比数列；需证（n=1，2，3，…）成立，另外应说明；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知数列{}是首项为1，公比为2的等比数列，可得Sn的通项公式，代入an+1=Sn（n=1，2，3，…）可得Sn+1=4an．说明当n=1时，S2=a1+a2=4a1，等式成立．
（I）证：由a1=1，an+1=Sn（n=1，2，3，），
知a2=S1=3a1，，，∴
又an+1=Sn+1-Sn（n=1，2，3，…），则Sn+1-Sn=Sn（n=1，2，3，），
∴nSn+1=2（n+1）Sn，（n=1，2，3，…），
故数列{}是首项为1，公比为2的等比数列．
（II）证明：Sn+1=4an．当n=1时，S2=a1+a2=4a1，等式成立．
由（1）知：，∴Sn=n2n-1
当n≥2时，4an=4（Sn-Sn-1）=2n（2n-n+1）=（n+1）2n=Sn+1，等式成立．
因此对于任意正整数n≥1都有Sn+1=4an．