Question

双曲线的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，过双曲线右焦点且斜率为的直线交双曲线于P、Q两点．若OP⊥OQ，|PQ|=4，求双曲线的方程．

Answer

先由题意设出双曲线的标准方程及直线的点斜式方程，然后联立方程组消去y得x的方程，再根据二次项系数是否为零进行讨论．若5b2-3a2=0，可推出矛盾；若5b2-3a2≠0，设其两根为x1，x2，则由根与系数的关系可利用a、b、c表示出x1+x2及x1x2，进一步由OP⊥OQ即斜率乘积为-1得a、b、c的等式，又|PQ|=4得a、b、c的另一等式，且c2=a2+b2，最后解a、b、c的方程组即可．
【解析】
设双曲线的方程为=1．
依题意知，点P，Q的坐标满足方程组

整理得（5b2-3a2）x2+6a2cx-（3a2c2+5a2b2）=0 ①．
若5b2-3a2=0，则=，即直线与双曲线的两条渐近线中的一条平行，故与双曲线只能有一个交点同，与题设矛盾，所以5b2-3a2≠0．
设方程①的两个根为x1，x2，则有
②，③，
由于P、Q在直线y=（x-c）上，可记为
P（x1，（x1-c）），Q（x2，（x2-c））．
由OP⊥OQ得•=-1，
整理得3c（x1+x2）-8x1x2-3c2=0  ④．
将②，③式及c2=a2+b2代入④式，并整理得
3a4+8a2b2-3b4=0，即（a2+3b2）（3a2-b2）=0．
因为a2+3b2≠0，解得b2=3a2，
所以c==2a．
由|PQ|=4，得（x2-x1）2+[（x2-c）-（x1-c）]2=42．
整理得（x1+x2）2-4x1x2-10=0  ⑤．
将②，③式及b2=3a2，c=2a代入⑤式，解得a2=1．
将a2=1代入b2=3a2得b2=3．
故所求双曲线方程为x2-=1．