Question

若对一切θ∈R，复数z=（a+cosθ）+（2a-sinθ）i的模不超过2，则实数a的取值范围为（ ）
A．[-，]
B．
C．
D．（-，）

Answer

首先写出复数的模长的表示式，使得模长不大于2，两边平方，根据三角函数恒等变形，整理出最简形式，根据对于一切角度属于实数都成立，只要大于最大值就可以，解出关于a的不等式即可．
【解析】
∵复数z=（a+cosθ）+（2a-sinθ）
∴|z|==≤2，
∴2acosθ-4asinθ+5a2≤3对一切θ∈R都成立，
∴2a（cosθ-2sinθ）≤3-5a2都成立，
∴2acos（θ+α）≤3-5a2恒成立，
∴2|a|≤3-5a2
∴|a|，
∴a的取值范围是[-]
故选A．