Question

设M，N为抛物线C：y=x²上的两个动点，过M，N分别作抛物线C的切线l₁，l₂，与x轴分别交于A，B两点，且l₁∩l₂=P，若|AB|=1，
（1）若|AB|=1，求点P的轨迹方程
（2）当A，B所在直线满足什么条件时，P的轨迹为一条直线？（请千万不要证明你的结论）
（3）在满足（1）的条件下，求证：△MNP的面积为一个定值，并求出这个定值．

Answer

（1）设P（x，y），用点斜式求得 l1 的方程，同理求得l2 的方程，由此建立x，y 的方程．
（2）当 A，B 所在直线过 C：y=x2 的焦点时．
（3）求出P到MN的距离为 d，以及MN的长度，代入△MNP的面积 S=MN•d运算求值．
【解析】
（1）设P（x，y），M（x1，x12），N（x2，x22），切线的斜率 k=2x．
∴l1 的方程为 y-x12=2x1（x-x1），即   y=2x1x-x12   ①，
同理，l2 的方程为 y=2x2 x-x22   ②，令 y=0 可求出 A（，0），B（，0）．
∵|AB|=1，所以，|x1-x2|=2，∴|x1+x2|2-4x1x2 =4，
由①，②，得  x=，y=x1x2，故点P（，x1x2）．
∴y=x2-1，
（2）当 A，B 所在直线过 C：y=x2 的焦点．
（3）设 MN：y=kx+b 又由 y=x2 得 x2-kx-b=0，所以，x1+x2=k，x1x2=-b，
∴P到MN的距离为 d==，MN=|x1-x2|，
∴S=MN•d=（|x1+x2|2 -4x1x2|）•|x1-x2|=2，为定值．