Question

已知函数f（x）=kx，g（x）=．
（1）若不等式f（x）=g（x）在区间 （）内的解的个数；
（2）求证：．

Answer

（I）将方程的解的个数问题转化为函数的图象的交点个数问题；通过导数研究函数的单调性及极值；通过对k与函数h（x）的极值的大小关系的讨论得到方程解的情况．
（II）通过（I）得到的函数的单调性，通过对不等式放缩，利用数列的裂项求和的方法证出不等式．
【解析】
（Ⅰ）由f（x）=g（x），得．
令所以，方程f（x）=g（x），在区间内解的个数即为函数的图象与直线y=k交点的个数．
当h′（x）=0时，x=．
当x在区间内变化时，h′（x），h（x）变化如下：

；
当时，y=-e2；当时，；当x=e时，．
所以，（1）当或k＜-e2时，该方程无解
（2）当或时，该方程有一个解；
（3）当时，该方程有两个解．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
∴．

∴∴

=＜1
∴
∵
∴．