Question

在一条笔直的工艺流水线上有n个工作台，将工艺流水线用如图所示的数轴表示，各工作台的坐标分别为x₁，x₂，…，x_n，每个工作台上有若干名工人．现要在流水线上建一个零件供应站，使得各工作台上的所有工人到供应站的距离之和最短．
（Ⅰ）若n=3，每个工作台上只有一名工人，试确定供应站的位置；
（Ⅱ）若n=5，工作台从左到右的人数依次为3，2，1，2，2，试确定供应站的位置，并求所有工人到供应站的距离之和的最小值．

Answer

设供应站坐标为x，各工作台上的所有工人到供应站的距离之和为d（x）．
对于（1）由题意有d（x）=|x-x1|+|x-x2|+|x-x3|然后对x的范围进行讨论分析，知当x=x2时，所有工人到供应站的距离之和最短．
对于（2）由题设知，各工作台上的所有工人到供应站的距离之和为d（x）=3|x-x1|+2|x-x2|+|x-x3|+2|x-x4|+2|x-x5|．对x的取值范围进行分类讨论，判断最佳的位置．
【解析】
设供应站坐标为x，各工作台上的所有工人到供应站的距离之和为d（x）．
（Ⅰ）d（x）=|x-x1|+|x-x2|+|x-x3|．（2分）
当x＜x1时，d（x）=x1+x2+x3-3x在区间（-∞，x1）上是减函数；
当x＞x3时，d（x）=3x-（x1+x2+x3）在区间（x3，+∞）上是增函数．（4分）
所以，x必须位于区间[x1，x3]内，此时d（x）=x3-x1+|x-x2|（*），
当且仅当x=x2时，（*）式取最小值，且d（x2）=x3-x1，即供应站的位置为x=x2．（7分）
（Ⅱ）由题设知，各工作台上的所有工人到供应站的距离之和为d（x）
=3|x-x1|+2|x-x2|+|x-x3|+2|x-x4|+2|x-x5|．（8分）
类似于（Ⅰ）的讨论知，x1≤x≤x5，且有（11分）
所以，函数d（x）在区间（x1，x2）上是减函数，在区间（x3，x5）上是增函数，在区间[x2，x3]上是常数．故供应站位置位于区间[x2，x3]上任意一点时，均能使函数d（x）取得最小值，且最小值为x3+2x4+2x5-3x1-2x2，x2≤x≤x3．（13分）