Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2a-c）cosB=bcosC．
（Ⅰ）求角B的大小；
（Ⅱ）当b=时，求的最大值．

Answer

（I）利用正弦定理代入（2a-c）cosB=bcosC整理可得，2sinAcosB=sin（B+C），利用和角公式展开可求cosB
（II）要求的最大值，需求ac的最大值，由余弦定理得可得a2+c2-ac=3，结合a2+c2-ac≥2ac-ac=ac，可求得ac的最大值，代入可得答案．
【解析】
（I）由正弦定理得：（2sinA-sinC）cosB=sinBcosC⇒2sinAcosB=sin（B+C）⇒cosB=（4分）
又B∈（0，π），∴B=；（6分）
（II）由余弦定理得：，即a2+c2-ac=3
又a2+c2-ac≥2ac-ac=ac，即ac≤3（取=时a=c=）（10分）
∴在a=c=时有最大值为．（12分）