Question

①设x，y∈R⁺，且x+y+xy=2，求x+y的最小值．
②设x≥0，y≥0，且x²+y²=4，求xy-4（x+y）-2的最小值．

Answer

（1）先根据均值不等式可知xy≤，代入x+y+xy=2中，得到关于x+y的一元二次不等式进去求得x+y的最小值．
（2）先根据x2+y2=4和xy=求出x+y的范围，进而把xy=代入xy-4（x+y）-2中，设x+y=t则有f（t）=t2-4t-4，进而根据t的范围求得xy-4（x+y）-2的最小值．
【解析】
①∵x，y∈R+，
∴xy≤（当且仅当x=y时成立）
∵x+y+xy=2，
∴xy=2-（x+y）
∴2-（x+y）≤
解得x+y≥2-2或x+y≤-2-2（舍去）
∴x+y的最小值为2-2
②∵x2+y2=（x+y）2-2xy=4
∴xy=≤（当且仅当x=y时，等号成立．）
∴x+y≤8
设x+y=t则有f（t）=t2-4t-4，函数为开口向上，对称轴为t=4的抛物线
∵t≤8
∴f（t）≥f（4）=-12
故xy-4（x+y）-2的最小值为-12