Question

已知函数f（x）=x⁴+（a-x）x²+（5-a）对任意实数x恒为正值，求实数a的取值范围．

Answer

函数对任意实数x恒为正值，其实就是f（x）的最小值大于0，只需证f（x）min＞0即可，方法是求出导函数=0时的值，分区间讨论函数的增减性得到f（x）的最小值证明它大于0即可求出a的取值范围．
【解析】
令f′（x）=4x3-3x2+2ax=0，得x=0或4x2-3x+2a=0
当x=0时f（x）=5-a＞0得a＜5；
当4x2-3x+2a=0，当a≤时即x=；当a＞，方程无解．
当x＞或x＜时，f′（x）＞0，函数为增函数；当＞x＞时，函数为减函数，因为函数f（x）=x4+（a-x）x2+（5-a）对任意实数x恒为正值则f（x）min=f（）＞0；
所以a＜5时，函数对任意实数x恒为正数．