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已知f(x)=x2-2(n+1)x+n2+5n-7(n∈N*), (1)设f(x...

已知f(x)=x2-2(n+1)x+n2+5n-7(n∈N*),
(1)设f(x)的图象的顶点的纵坐标构成数列{an},求证:{an}为等差数列.
(2)设f(x)的图象的顶点到x轴的距离构成{bn},求{bn}的前n项和.
(1)要证明数列{an}为等差数列.我们可以根据二次函数顶点的坐标公式,求出其顶点纵坐标的表达式,再根据判断等差数列的方法进行判断; (2)由于f(x)的图象的顶点到x轴的距离等于顶点纵坐标的绝对值,结合(1)的结论,我们易得{bn}从第二项开始是一个等差数列,根据等差数列前n项和公式,易得结论. (1)证明:∵f(x)=x2-2(n+1)x+n2+5n-7(n∈N*), f(x)的图象的顶点的纵坐标为=3n-8 即an=3n-8(n∈N*), 故{an}为一个以-5为首项,以3为公差的等差数列 (2)【解析】 由(1)及f(x)的图象的顶点到x轴的距离构成{bn}, 则bn=|an|=|3n-8| 当n=1或n=2时3n-8<0,bn=|3n-8|=8-3n b1=5 b2=2 n≥3时3n-8>0 bn=|3n-8|=3n-8 Sn=b1+b2+b3+…+bn =5+2+(3×3-8)+(3×4-8)…+(3n-8) =7+3×(3+4+5+…+n)-8(n-2) =7+-8(n-2) =7+ =7+. ∴Sn=7+.
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考点分析:
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观察下表:
1
2    3    4
3    4    5    6    7
4    5    6    7    8    9    10

则第    行的各数之和等于20092查看答案
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A.n2
B.(n+1)2
C.n(2n-1)
D.(n-1)2
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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