Question

某城市2002年末粮食储备量为100万吨，预计此后每年耗用上一年末粮食储备量的5%，并且每年新增粮食储备量均为x万吨、
（I）记2002年末的粮食储备量为a₁万吨，以后各年末的粮食储备量依次为a₂万吨，a₃万吨，…、写出a₁，a₂，a₃和a_n（n∈N）的表达式；
（II）受条件限制，该城市的粮食储备量不能超过150万吨，那么每年新增粮食储备量不应超过多少万吨？

Answer

（I）由题设知a1=100，a2=0.95×100+x，a3=0.95a2+x=0.952×100+0.95x+x.=20x+（100-20x）•0.95n-1．
（II）当100-20x≥05时，an+1≤an≤…≤a2≤a1=100；当100-20x＜0时，．由此可以导出每年新增粮食储备量不应超过7.5万吨．
（I）【解析】
a1=100，a2=0.95×100+x，a3=0.95a2+x=0.952×100+0.95x+x（3分）
对于n＞2，有an=0.95an-1+x=0.952×an-2+（1+0.95）x
∴
=20x+（100-20x）•0.95n-1（6分）
（II）【解析】
当100-20x≥0，即x≤5时，an+1≤an≤≤a2≤a1=100；（8分）
当100-20x＜0，即x＞5时，
并且数列an的逐项增加，可以任意靠近20x．
因此，如果要求粮食储备不超过150万吨，则an＜150，即20x≤150
∴x≤0，75．所以，每年新增粮食储备量不应超过7.5万吨（12分）