Question

如图，球心到截面的距离为半径的一半，BC是截面圆的直径，D是圆周上一点，CA是球O的直径．
（1）求证：平面ABD⊥平面ADC；
（2）如果球半径是，D分为两部分，且，求AC与BD所成的角．

Answer

（1）由已知中BC是截面圆的直径，D是圆周上一点，CA是球O的直径．由圆周角定理，可得CD⊥BD，CD⊥AD，由线面垂直的判定定理，可得CD⊥平面ABD，再由面面垂直的判定定理，即可得到平面ABD⊥平面ADC；
（2）根据球半径是，D分为两部分，且，我们可以分别求出cos∠ACB，cos∠CBD，然后利用三余弦定理，即可得到答案．
证明：（1）∵BC是截面圆的直径，D是圆周上一点，CA是球O的直径．
∴CD⊥BD，CD⊥AD，又由BD∩AD=D
∴CD⊥平面ABD，又由CD⊂平面ADC
∴平面ABD⊥平面ADC；
【解析】
（2）∵球心到截面的距离为半径的一半，球半径AC=，
则BC=，∴cos∠ACB=
又∵D分为两部分，且，
∴cos∠CBD=，
设AC与BD所成的角为θ，
由三余弦定理得：Cosθ=
则AC与BD所成的角为arccos