Question

已知数列{a_n}中，a₁=2，点（a_n，a_n+1）在直线y=2x上．数列{b_n}满足b_n+2-2b_n+1+b_n=0（n∈N⁺），且b₃=11，S₉=153．
b_n+2-2b_n+1+b_n=0
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项；
（Ⅱ）设c_n=a_n•b_n，{c_n}的前n项和为T_n，求T_n．

Answer

（I）由题意可得an+1=2an，即数列an为等比数列，代入等比数列的通项可求an；由bn+2-2bn+1+bn=0⇒bn+2-bn+1=bn+1-bn，从而可得数列bn为等差数列，结合题中所给条件可求公差d，首项b1，进一步可求数列的通项．
（II）由（I）可知数列anbn分别为等差、等比数列，对数列cn求和用错位相减．
【解析】
（Ⅰ）点（an，an+1）在直线y=2x上，
∴，数列{an}为等比数列，
又a1=2，∴an=2n．
∵bn+2-2bn+1+bn=0，∴bn+2-bn+1=bn+1-bn═b2-b1
即数列{bn}为等差数列，∵b1=11，S9=153，设首项为b1，公差为d．
b1+2d=1，解得b1=5，d=3，∴bn=3n+2
（Ⅱ）cn=bn•an=（3n+2）•2n∴Tn=5•2+8•22++（3n+2）•2n①
2Tn=5•22+8•23++（3n+2）•2n+1②
①-②得：-Tn=5•2+3•22++3•2n-（3n+2）•2n+1
∴Tn=（3n-1）•2n+1+2