Question

已知各项均为正数的数列{a_n}的前n项和为S_n，a_n=2-1（n∈N^*）．
（1）求a_n的通项公式；
（2）设T_n=++…+，P_n=++…+，求2T_n-P_n，并确定最小的正整数n，使2T_n-P_n＞．

Answer

（1）先看当n=1时，求得a1，进而根据数列的递推式，利用an+1=Sn+1-Sn求得（an+1+an）（an+1-an-2）=0进而求得an+1-an=2
进而根据等差数列的性质求得数列的通项公式．
（2）根据（1）中的an可数列的前n项的和Sn，进而根据等比数列的求和公式求得Tn，利用裂项法求得Pn，则2Tn-Pn可求．根据2Tn-Pn的表达式可知，随n的增大，其结果也增大，进而可判断出n从5开始2Tn-Pn＞．
【解析】
（1）当n=1时
又由已知
∴
∴
化简得an+12-an2-2an+1-2an=0⇒（an+1+an）（an+1-an-2）=0
∵an＞0∴an+1-an=2
∴an=1+（n-1）×2=2n-1（n∈N*）
（2）∵
∴
∴
=
随n的增大A=2Tn-Pn的值也增大n=4时
n=5时，故所求n=5