Question

要制作一个由同底圆锥和圆柱组成的储油罐（如图），设计要求：圆锥和圆柱的总高度和圆柱底面半径相等，都为r米．市场上，圆柱侧面用料单价为每平方米a元，圆锥侧面用料单价分别是圆柱侧面用料单价和圆柱底面用料单价的4倍和2倍．设圆锥母线和底面所成角为θ（弧度），总费用为y（元）．
（1）写出θ的取值范围；
（2）将y表示成θ的函数关系式；
（3）当θ为何值时，总费用y最小？

Answer

（1）先设圆锥的高为h1米，母线长为l米，圆柱的高为h2米；圆柱的底面用料单价为每平方米2a元，圆锥的侧面用料单价为每平方米4a元，由圆锥和圆柱的总高度和圆柱底面半径相等，都为r米．则h1＜r，⇒tanθ=＜1求得；
（2）圆锥的侧面用料费用为4aπrl，圆柱的侧面费用为2aπrh2，圆柱的地面费用为2aπr2⇒y=4aπrl+2aπrh2+2aπr2⇒
（3）抽象出⇒⇒当时，得解．
【解析】
圆柱的底面用料单价为每平方米2a元，圆锥的侧面用料单价为每平方米4a元，
设圆锥的高为h1米，母线长为l米，圆柱的高为h2米；
（1）∵圆锥和圆柱的总高度和圆柱底面半径相等，都为r米．
则h1＜r，
tanθ=＜1
∴…（3分）
（2）圆锥的侧面用料费用为4aπrl，圆柱的侧面费用为2aπrh2，圆柱的地面费用为2aπr2，..（6分）（每个面积公式1分）
则y=4aπrl+2aπrh2+2aπr2
=2aπr（2l+h2+r）=2aπr[+（r-h1）+r]
=2aπr[+（r-rtanθ）+r]=（9分）
（3）设，其中…（10分）
则，..（11分）
当时，；
当时，；
当时，；..（13分）
则当时，f（θ）取得最小值，..（14分）
则当时，费用y最小（15分）