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若函数f(x)=(a-3)x-ax3在区间[-1,1]上的最小值等于-3,则实数...

若函数f(x)=(a-3)x-ax3在区间[-1,1]上的最小值等于-3,则实数a的取值范围是( )
A.(-2,+∞)
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D.(-2,12]
由函数f(x)=(a-3)x-ax3在区间[-1,1]上的最小值等于-3,由函数解析式先求其导函数,进而可判断函数在区间[-1,1]上的单调性,从而可求函数的最小值,即可 【解析】 由函数f(x)=(a-3)x-ax3 求导函数为:f′(x)=-3ax2+(a-3), ①当a=0时,f(x)=-3x,此时函数在定义域内单调递减,所以函数的最小值为:f(1)=-3,符合题意, 所以a=0符合题意; ②当a≠0时,f‘(x)=0,即 3ax2=a-3   (I)当0<a≤3时,f′(x)=-3ax2+(a-3)为开口向下的二次函数,且△=12a(a-3)≤0,f‘(x)≤0恒成立 所以函数f(x)在定义域上为单调递减函数,函数的最小值为f(1)=-3,此时符合题意; (II)当a<0或a>3时,f′(x)=0,即 3ax2=a-3    解得:, ①当,即a, 函数f(x)在[-1,-]上单调递增,在上单调递减,在上单调递增, 所以此时函数在定义域的最小值为f(-1)=-3或f(-)=   令   解得:a∈φ   , 即时,函数在定义域上始终单调递减,则函数在定义域上的最小值为f(1)=-3,符合题意. 综上所述:当即 时符合题意. 故选B
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