Question

若函数f（x）=（a-3）x-ax³在区间[-1，1]上的最小值等于-3，则实数a的取值范围是（ ）
A．（-2，+∞）
B．
C．
D．（-2，12]

Answer

由函数f（x）=（a-3）x-ax3在区间[-1，1]上的最小值等于-3，由函数解析式先求其导函数，进而可判断函数在区间[-1，1]上的单调性，从而可求函数的最小值，即可
【解析】
由函数f（x）=（a-3）x-ax3 求导函数为：f′（x）=-3ax2+（a-3），
①当a=0时，f（x）=-3x，此时函数在定义域内单调递减，所以函数的最小值为：f（1）=-3，符合题意，
所以a=0符合题意；
②当a≠0时，f‘（x）=0，即 3ax2=a-3  
（I）当0＜a≤3时，f′（x）=-3ax2+（a-3）为开口向下的二次函数，且△=12a（a-3）≤0，f‘（x）≤0恒成立
所以函数f（x）在定义域上为单调递减函数，函数的最小值为f（1）=-3，此时符合题意；
（II）当a＜0或a＞3时，f′（x）=0，即 3ax2=a-3  
 解得：，
①当，即a，
函数f（x）在[-1，-]上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
所以此时函数在定义域的最小值为f（-1）=-3或f（-）=   令  
解得：a∈φ
  ，
即时，函数在定义域上始终单调递减，则函数在定义域上的最小值为f（1）=-3，符合题意．
综上所述：当即 时符合题意．
故选B