Question

设数列{a_n}的首项a₁=1，其前n项和S_n满足：3tS_n-（2t+3）S_n-1=3t（t＞0，n=2，3，…）．
（Ⅰ）求证：数列{a_n}为等比数列；
（Ⅱ）记{a_n}的公比为f（t），作数列{b_n}，使b₁=1，，求和：b₁b₂-b₂b₃+b₃b₄-b₄b₅+…+b_2n-1b_2n-b_2nb_2n+1．

Answer

（Ⅰ）由S1=a1=1，S2=1+a2，得3t（1+a2）-（2t+3）=3t，，又3tSn-（2t+3）Sn-1=3t，3tSn-1-（2t+3）Sn-2=3t（n=3，4，）两式相减，得：3tan-（2t+3）an-1=0，由此能够证明数列{an}为等比数列．
（Ⅱ）由，得，所以，由此能求出（b1-b3）b2+（b3-b5）b4+…+（b2n-1-b2n+1）b2n之和．
【解析】
（Ⅰ）由S1=a1=1，S2=1+a2，得3t（1+a2）-（2t+3）=3t，∴
又3tSn-（2t+3）Sn-1=3t，3tSn-1-（2t+3）Sn-2=3t（n=3，4，）两式相减，
得：3tan-（2t+3）an-1=0，
∴（n=3，4，）
综上，数列{an}为首项为1，公比为的等比数列
（Ⅱ）由，得，
所以{bn}是首项为1，，公差为的等差数列，b1b2-b2b3+b3b4-b4b5+…+b2n-1b2n-b2nb2n+1=（b1-b3）b2+（b3-b5）b4+…+（b2n-1-b2n+1）b2n==