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在四棱锥P-ABCD中,侧面PCD⊥底面ABCD,PD⊥CD,E为PC中点,底面...

在四棱锥P-ABCD中,侧面PCD⊥底面ABCD,PD⊥CD,E为PC中点,底面ABCD是直角梯形,AB∥CD,∠ADC=90°,AB=AD=PD=1,CD=2.
(Ⅰ)求证:BE∥平面PAD;
(Ⅱ)求证:BC⊥平面PBD;
(Ⅲ)设Q为侧棱PC上一点,manfen5.com 满分网,试确定λ的值,使得二面角Q-BD-P为45°.

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(Ⅰ)取PD的中点F,连接EF、AF,由中位线得性质和AB∥CD及AB=1证出四边形ABEF为平行四边形,则BE∥AF,根据线面平行的判定得BE∥平面PAD; (Ⅱ)由平面PCD⊥底面ABCD,PD⊥CD证出PD⊥AD,利用三条线相互垂直关系,建立直角坐标系,求出,即BC⊥DB,再由PD⊥平面ABCD,可得PD⊥BC,即证BC⊥平面PBD; (Ⅲ)利用(Ⅱ)建立的坐标系和结论,求出平面PBD的法向量,利用求出Q的坐标,再利用垂直关系求平面QBD的法向量的坐标,由两个法向量的数量积运算表示二面角的余弦值,化简后求出λ∈(0,1)的值. 【解析】 (Ⅰ)取PD的中点F,连接EF,AF, ∵E为PC中点,∴EF∥CD,且, 在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=1, ∴EF∥AB,EF=AB,∴四边形ABEF为平行四边形, ∴BE∥AF,∵BE⊄平面PAD,AF⊂平面PAD, ∴BE∥平面PAD.(4分) (Ⅱ)∵平面PCD⊥底面ABCD,PD⊥CD,∴PD⊥平面ABCD, ∴PD⊥AD.(5分) 如图,以D为原点建立空间直角坐标系D-xyz. 则A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,2,0),P(0,0,1).(6分) ,, ∴,BC⊥DB,(8分) 又由PD⊥平面ABCD,可得PD⊥BC, ∴BC⊥平面PBD.(9分) (Ⅲ)由(Ⅱ)知,平面PBD的法向量为,(10分) ∵,,且λ∈(0,1) ∴Q(0,2λ,1-λ),(11分) 设平面QBD的法向量为=(a,b,c),,, 由,,得 , ∴,(12分) ∴,(13分) 因λ∈(0,1),解得.(14分)
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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