Question

已知数列{a_n}和{b_n}满足a₁=b₁，且对任意n∈N^*都有a_n+b_n=1，．
（1）求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；
（2）证明：．

Answer

（1）根据对任意n∈N*都有an+bn=1，，，进行变形可得，构造等差数列，即可求出其通项公式，进而求得数列{an}的通项公式，并代入可求得{bn}的通项公式；
（2）对于不等式的右边，可以构造函数f（x）=ln（1+x）-x，，利用导数求出函数的单调性和最值，即可证得结论；对于不等式的左边，构造函数，利用导数求出函数的单调性和最值，即可证得结论．
（1）【解析】
∵对任意n∈N*都有an+bn=1，，
∴．
∴，即．
∴数列是首项为，公差为1的等差数列．
∵a1=b1，且a1+b1=1，
∴a1=b1=．
∴．
∴，，
（2）证明：∵，，∴．
∴所证不等式，
即．
①先证右边不等式：．
令f（x）=ln（1+x）-x，则．
当x＞0时，f′（x）＜0，
所以函数f（x）在[0，+∞）上单调递减．
∴当x＞0时，f（x）＜f（0）=0，即ln（1+x）＜x．
分别取．
得．
即．
也即．
即．
②再证左边不等式：．
令，则．
当x＞0时，f′（x）＞0，
所以函数f（x）在[0，+∞）上单调递增．
∴当x＞0时，f（x）＞f（0）=0，即．
分别取．
得．
即．
也即．
即．
∴．