Question

定义在R上的函数f（x），当0≤x₁＜x₂≤1时，f（x₁）≤f（x₂），且满足下列条件：①f（1）=1，②，③2f（x）=f（5x）、则等于（ ）
A．
B．
C．
D．

Answer

由条件求出f（），将条件③转化为f（）=f（x），重复使用此等式可得f（）=，再重复使用此等式可得f（）=，当0≤x1＜x2≤1时，f（x1）≤f（x2），而≤≤，f（）≤f（）≤f（），
可得所求的值．
【解析】
函数f（x）在[0，1]上是单调增函数，∵①f（1）=1，②，
令x=得，f（0）=0，令x=0，f（）=，
∵2f（x）=f（5x），∴f（）=f（x）
所以f（）=f（1）=
f（）=f（）=，以此类推
f（）=，f（）=，f（）=，
再用 f（）=f（x） 得，
f（）=f（）=，f（）=f（）=，f（）=，f（）=，
当0≤x1＜x2≤1时，f（x1）≤f（x2），
而≤≤，∴f（）≤f（）≤f（），
≤f（）≤
所以，f（）=；
故选B．