Question

已知等差数列{a_n}和等比数列{b_n}，a₁=b₁=1且a₃+a₅+a₇=9，a₇是b₃和b₇的等比中项．
（Ⅰ）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）若c_n=2a_nb_n²，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer

（1）∵已知等{an}为差数列、{bn}为等比数列，及两个数列的首项，及a3+a5+a7=9，由等差数列的性质不难求出a5的值，进一步求出{an}的通项公式，再根据a7是b3和b7的等比中项，也可求出b5的值，进一步求出{bn}的通项公式．
（2）根据（1）的结论易给出数列{cn}的通项公式，再利用错位相减法，便可求得Tn．
【解析】
（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q，
由题意知：a3+a5+a7=9，
∴，∴，
∴
a7=4，∵a72=b3•b7=16，∴b52=b3•b7=16，∵b5∈N+，
∴，∴，∵，∴，
∴
（II）因为cn=2an•bn2=（n+1）•2n-1
所以Tn=c1+c2++cn=2+3•2+4•22+…+（n+1）•2n-1．（1）
2Tn=2•2+3•22+4•23+…+n•2n-1+（n+1）•2n．（2）
由（1）减（2），
得，
∴Tn=n•2n