Question

对于数列{α_n}，定义．f₁（α_n）=α_n+1-a_n，并对所有整数K＞1定义f_k（α_n）=f₁（f_k（a_n））．若α_n=n³+n那么对所有n∈N^•，使得f_k（a_n）=0成立的k的最小值是    ．

Answer

因为是求使得fk（an）=0成立的k的最小值，所以可以利用定义把前几项求出来即可找到满足条件的k值．
【解析】
∵f1（an）=（n+1）3+（n+1）-n3-n=3n2+3n+2．
∵f2（an）=f1（f1（an））=f1（3n2+3n+2）=3（n+1）2+3（n+1）+2-3n2-3n-2=6n+6．
f3（an）=f1（f2（an））=f1（6n+6）=6（n+1）+6-6n-6=6．
f4（an）=f1（f3（an））=f1（6）=0．
∴当k≥4时，fk（an）=0．
∴k的最小值为4．
故答案为4．