Question

在三棱锥S-ABC中，△ABC是边长为4的正三角形，点S在平面ABC上的射影恰为AC的中点，SA=，M、N分别为AB、SB的中点．
（1）证明AC丄SB；
（2）求直线CN与平面ABC所成角的余弦值；
（3）求点B到平面CMN的距离．

Answer

（1）欲证AC⊥SB，取AC中点D，连接DS、DB．根据线面垂直的性质定理可知，只须证AC⊥SD且AC⊥DB，即得；
（2）欲求直线CN与平面ABC所成角的余弦值大小，可先作出直线CN与平面ABC所成角，结合SD⊥平面ABC．过D作DE⊥CM于E，连接SE，则SE⊥CM，从而得出∠NCD为直线CN与平面ABC所成角．最后在Rt△NCD中求解即可；
（3）设点B到平面CMN的距离为h，利用等到体积法：VB-SNM=VS-NMB，即可求得点B到平面CMN的距离．
证明：（Ⅰ）取AC中点D，连接SO．
∵SO⊥面ABC，
∴AC⊥SO，
∵△ABC是边长为4的正三角形，
∴AC⊥BO
∴AC⊥面SOB，∴AC⊥SB．

（Ⅱ）过N作ND∥SO交OB于D，则ND⊥面ABC，且D是OB的中点，
在Rt△NCD中，ND=SO=
CD=∴CN=3
∴cos∠NCD=．
直线CN与平面ABC所成角的余弦值．
（Ⅲ）【解析】
在Rt△SDE中，SE=，CM是边长为4正△ABC的中线，．
∴S△SCM=CM•SE=，
设点B到平面SCM的距离为h，
由VB-SCM=VS-CMB，SD⊥平面ABC，得 S△SCM•h=S△CMB•SD，
∴h=．即点B到平面SCM的距离为 ．