已知椭圆C1：+=1（a＞b＞0）的离心率为，直线l：y=x+2与以原点为圆心、...

已知椭圆C₁：

=1（a＞b＞0）的离心率为 manfen5.com 满分网

，直线l：y=x+2与以原点为圆心、椭圆C₁的短半轴长为半径的圆O相切．
（1）求椭圆C₁的方程；
（2）设椭圆C₁的左焦点为F₁，右焦点为F₂，直线l₁过点F₁且垂直于椭圆的长轴，动直线l₂垂直于l₁，垂足为点P，线段PF₂的垂直平分线交l₂于点M，求点M的轨迹C₂的方程．

（1）先利用离心率为，求出a，b，c之间的关系，再利用直线l：x-y+2=0与圆相切求出b，即可求椭圆C1的方程；（2）把条件转化为动点M到定点F2（1，0）的距离等于它到直线l1：x=-1的距离即可求出点M的轨迹C2的方程．【解析】（1）由e=，得=1-e2=；由直线l：x-y+2=0与圆x2+y2=b2相切，得=|b|．所以，b=，a= 所以椭圆的方程是+=1．（2）由条件，知|MF2|=|MP|，即动点M到定点F2（1，0）的距离等于它到直线l1：x=-1的距离，由抛物线的定义得点M的轨迹C2的方程是y2=4x（x≠0）

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考点分析：

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试题属性

题型：解答题
难度：中等