Question

设函数f（x）=x²+mx（x∈R），则下列命题中的真命题是（ ）
A．任意m∈R，使Y=f（x）都是奇函数
B．存在m∈R，使y=f（x）是奇函数
C．任意m∈R，使y=f（x）都是偶函数
D．存在m∈R，使y=f（x）是偶函数

Answer

从函数的奇偶性的定义进行判断，对于f（x）=x2+mx，不论m为何值时，定义域总是R，故而只需求出f（-x）和-f（x），即f（-x）=（-x）2+m（-x）=x2-mx，-f（x），若函数为奇函数，则f（-x）=-f（x），即x2-mx=-x2-mx恒成立，而x2-mx=-x2-mx恒成立是不可能，故不论m为何值均不能使f（x）为奇函数；若函数为偶函数，则f（-x）=f（x），即x2+mx=x2-mx恒成立，故只需要m为0时即可
【解析】
由题意知函数的定义域均为R
若函数为奇函数
则f（-x）=-f（x），
即x2-mx=-x2-mx恒成立，
而x2-mx=-x2-mx只有在x=0时才成立，而题中给出的x是一切实数，故x2-mx=-x2-mx恒成立是不可能，
故不论m为何值均不能使f（x）为奇函数；
若函数为偶函数，
则f（-x）=f（x），
即x2+mx=x2-mx恒成立，
故只需要m为0时即可
故选D