Question

设F₁，F₂为椭圆C：+=1（m＞0）的左、右焦点，点P⊆C且
•=0，||•||=4（1）求椭圆C的方程；
（2）作以F₂为圆心，以1为半径的圆，过动点Q作圆F₂的切线，切点为且使||=||，求动点Q的轨迹方程．

Answer

（1）由a2=6m2，b2=2m2，知2c2=4m2，由•=0，知|PF1|2+|PF2|2=（2c）2=16m2，由椭圆定义知，由此能得到所求的椭圆方程．
（2）由F1（-2，0），F2（2，0），设Q（x，y），知，（x+2）2+y2=2[（x-2）2+y2-1]，由此能得到所求的轨迹方程．
【解析】
（1）∵a2=6m2，b2=2m2，
∴2c2=4m2，
∵•=0，
∴|PF1|2+|PF2|2=（2c）2=16m2，
由椭圆定义知，，
∴16m2+8=24m2，
∴m2=1，
故所求的椭圆方程为．
（2）由（1）知F1（-2，0），F2（2，0），设Q（x，y），
∵，
∴，
∴（x+2）2+y2=2[（x-2）2+y2-1]，
化简，得（x-6）2+y2=34，
故所求的轨迹方程为（x-6）2+y2=34．