Question

已知函数f（x）=，在x=1处取得极值2．
（1）求函数f（x）的解析式
（2）m满足什么条件时，区间（m，2m+1）为函数f（x）的单调增区间；
（3）若P（x，y）为f（x）=图象上任意一点，直线/与．f（x）的图象切于P点，不妨设直线l的斜率为对于任意的x∈R和对于任意的t∈[4，5]，均有k≥c（t²-2t-3）恒成立，求实数c的取值范围．

Answer

（1）由函数 在x=1处取得极值2可得f（x）=2，f′（1）=0求出a和b确定出f（x）即可；
（2）令f′（x）＞0求出增区间得到m的不等式组求出解集即可；
（3）找出直线l的斜率k=f′（x），利用换元法求出k的最小值和最大值即可得到c的范围．
【解析】
（1）因 ，
而函数 在x=1处取得极值2，
所以 ⇒⇒
所以 ；
（2）由（1）知 ，如图，f（x）的单调增区间是[-1，1]
所以，⇒-1＜m≤0
所以当m∈（-1，0]时，函数f（x）在区间（m，2m+1）上单调递增．

x （-∞，-1） -1 （-1，1）  1 （1，+∞）
f′（x）  -  o +  0 -
 f（x） ↓  极小值
-2 ↑  极大值2 ↓ 

（3）由条件知，过f（x）的图形上一点P的切线l的斜率k为：=
令 ，则t∈（0，1]，此时，
根据二次函数 的图象性质知：
当 时，kmin=，当t=1时，kmax=4
所以，直线l的斜率k的取值范围是 ．
∵t∈[4，5]，均有（t2-2t-3）∈[5，12]
∴k≥-≥（cg（t））max，恒成立．∴c＜0，-≥5c，
∴c．