Question

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M、N、P分别为所在边的中点，O为面对角线A₁C₁的中点．
（1）求证：面MNP∥面A₁C₁B；
（2）求证：MO⊥A₁C₁．

Answer

（1）利用MN为△DD1C的中位线，可得MN∥D1C，再由正方形的性质可得D1C∥A1B，可证MN∥A1B．
 同理证MP∥C1B，从而证得面MNP∥面A1C1B．
（2）连接C1M和A1M，利用勾股定理可得C1M=A1M，故△A1C1M是等腰三角形，故有A1C1⊥MO．
证明：（1）连接D1C，MN为△DD1C的中位线，∴MN∥D1C．又∵D1C∥A1B，
∴MN∥A1B．同理MP∥C1B．
而MN与MP相交，MN，MP⊂面MNP，A1B，
A1B⊂面A1C1B．∴面MNP∥面A1C1B．
（2）证明：连接C1M和A1M，
设正方体的边长为a，
∵正方体ABCD-A1B1C1D1，∴C1M=A1M，
又∵O为A1C1的中点，
∴A1C1⊥MO．