Question

在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2，O为AC和BD的交点，过A、C₁、B三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD-AC₁D_l，且这个几何体的体积为．
（1）求证：OD₁∥平面BA₁C₁
（2）求棱A₁A的长：
（3）求点D₁到平面BA₁C₁的距离．

Answer

（1）欲证ODl∥平面BA1C1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证ODl与平面BA1C1内一直线平行，取A1C1的中点M，连接BM，MD1，易证四边形OBMD1是平行四边形，则OD1∥BM，BM⊂平面BA1C1，满足定理所需条件；
（2）没A1A=h，由题意可知建立等式关系，求出所求即可；
（3）点D1到平面BA1C1的距离即为点B1到平面BA1C1的距离d，根据建立等式关系解之即可求出点D1到平面BA1C1的距离．
【解析】
（1）证明：取A1C1的中点M，连接BM，MD1，则
所以四边形OBMD1是平行四边形，OD1∥BM
又BM⊂平面BA1C1
∴ODl∥平面BA1C1（4分）
（2）设A1A=h，由题设可知（6分）
得，即
解得h=3
棱A1A的长为3（10分）
（3）点D1到平面BA1C1的距离即为点B1到平面BA1C1的距离d．，∴（12分）
又
∴∴
点D1到平面BA1C1的距离（14分）