Question

数列{a_n}中，a₁=3，S_n为其前n项的和，满足S_n=S_n-1+a_n-1+2^n-1（n≥2），令
（1）写出数列{a_n}的前四项，并求数列{a_n}的通项公式
（2）若f（x）=2^x-1，求和：b₁f（1）+b₂f•（2）+…+b_nf（n）
（3）设，求证：数列{c_n}的前n项和Q_n＜2．

Answer

（1）数列的前四项：a1=3，a2=5，a3=9，a4=17，Sn=Sn-1+an-1+2n-1（n≥2）⇒an=an-1+2n-1（n≥2），由此能求出an．
（2）由=，入手，能求出b1f（1）+b2f•（2）+…+bnf（n）
的值．
（3）由，得，令，则，再由错位相减法进行求解．
【解析】
（1）数列的前四项：a1=3，a2=5，a3=9，a4=17（2分）
Sn=Sn-1+an-1+2n-1（n≥2）⇒an=an-1+2n-1（n≥2）（3分）
当n≥2时，an=（an-an-1）+•+（a2-a1）+a1=2n-1••+2n-2++22+2•+3=2n+1
经验证a1也符合，所以an=2n．+1（5分）
（2）=，（7分）
∴b1f（1）+b2f（•2）+…+bnf（n）==（9分）
（3）由
得（11分）
令
则，
相减，得=
所以
所以（14分）