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如图,沿等腰直角三角形ABC的中位线DE,将平面ADE折起,使得平面ADE⊥平面...

如图,沿等腰直角三角形ABC的中位线DE,将平面ADE折起,使得平面ADE⊥平面BCDE得到四棱锥A-BCDE.
(1)求证:平面ABC⊥平面ACD;
(2)过CD的中点M的平面α与平面ABC平行,试求平面α与四棱锥A-BCDE各个面的交线所围成多边形的面积与三角形ABC的面积之比.

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(1)AD⊥DE,平面ADE⊥平面BCDE,根据两个平面垂直的性质定理得AD⊥平面BCDE,所以AD⊥BC,又CD⊥BC,根据线面垂直的判定定理BC⊥平面ACD,BC⊂平面ABC,所以平面ABC⊥平面ACD (2)由于平面α∥平面ABC,故平面ACD与平面α的交线MQ∥AC,M是CD的中点,故Q是AD的中点;同理平面BCDE与平面α的交线MN∥BC,N为BE的中点;平面ABE的交线NP∥AB,P为AE的中点,连接PQ即为平面α与平面ADE的交线,故平面α与四棱锥A-BCDE各个面的交线所围成多边形就是四边形MNPQ,进一步观察可知四边形MNPQ是直角梯形,进而由比例关系可以求得截面面积与△ABC的面积之比 【解析】 (1)∵AD⊥DE,平面ADE⊥平面BCDE,平面ADE∩平面BCDE=DE, ∴AD⊥平面BCDE, ∴AD⊥BC, 又∵CD⊥BC,AD∩CD=D, ∴BC⊥平面ACD, 又∵BC⊂平面ABC, ∴平面ABC⊥平面ACD (2)∵平面α∥平面ABC,设平面ACD与平面α的交线为MQ, ∴MQ∥AC, 又∵M是CD的中点, ∴Q是AD的中点; 同理:设平面BCDE与平面α的交线为MN, ∴MN∥BC, 又∵M是CD的中点, ∴N为BE的中点; 同理:平面ABE的交线NP∥AB,P为AE的中点, 连接PQ即为平面α与平面ADE的交线,故平面α与四棱锥A-BCDE各个面的交线所围成多边形是图中的四边形MNPQ, 由于PQ∥DE,DE∥MN,故PQ∥MN,根据(1)BC⊥AC,由MN∥BC,MQ∥AC,故MQ⊥MN,即四边形MNPQ′是直角梯形. 设CM=a,则,故四边形MNPQ的面积是,三角形ABC的面积是, 故平面α与四棱锥A-BCDE各个面的交线所围成多边形的面积与三角形ABC的面积之比为.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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