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设函数f(x)=x2-2x+alnx. (1)若函数f(x)是定义域上的单调函数...

设函数f(x)=x2-2x+alnx.
(1)若函数f(x)是定义域上的单调函数,求实数a的取值范围;
(2)求函数f(x)的极值点.
(1)利用函数单调,其导函数大于等于0或小于等于0恒成立;二次不等式恒成立,即最小值≥0恒成立. (2)据(1)根据参数的范围,对函数单调性分类判断,据极值的定义在各类中求出函数的极值. 【解析】 (1), 若函数f(x)是定义域上的单调函数,则只能f′(x)≥0在(0,+∞)上恒成立, 即2x2-2x+a≥0在(0,+∞)上恒成立恒成立, 令g(x)=2x2-2x+a,则函数g(x)图象的对称轴方程是, 故只要△=4-8a≤0恒成立,即只要. (2)有(1)知当时,f′(x)=0的点是导数不变号的点, 故时,函数无极值点; 当时,f'(x)=0的根是, 若a≤0,,此时x1≤0,x2>0,且在(0,x2)上f′(x)<0, 在(x2,+∞)上f'(x)>0,故函数f(x)有唯一的极小值点; 当时,, 此时x1>0,x2>0,f′(x)在(0,x1),(x2,+∞)都大于0,f′(x)在(x1,x2)上小于0, 此时f(x)有一个极大值点和一个极小值点. 综上可知,a≤0时,f(x)在(0,+∞)上有唯一的极小值点; 时,f(x)有一个极大值点和一个极小值点; 时,函数f(x)在(0,+∞)上无极值点.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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