Question

在直角坐标系xOy中，点P到两点，的距离之和等于4，设点P的轨迹为C．
（1）求曲线C的方程；
（2）过点作两条互相垂直的直线l₁，l₂分别与曲线C交于A，B和CD．
①以线段AB为直径的圆过能否过坐标原点，若能求出此时的k值，若不能说明理由；
②求四边形ABCD面积的取值范围．

Answer

（1）P（x，y）根据椭圆的定义可推断点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆，进而可求得短半轴b，椭圆方程可得．
（2））①设直线，A（x1，y1），B（x2，y2），直线方程和椭圆方程联立消去y，根据韦达定理求得x1+x2和x1x2的表达式，进而根据以线段AB为直径的圆过坐标原点，推断出x1x2+y1y2=0．求得k．
②由①可求得|AB|的表达式，进而把k换为求得|CD|表达式进而得到四边形ABCD的面积，令k2+1=t，根据t的范围可确定四边形ABCD的面积的范围，最后看当直线l1或l2的斜率有一个不存在时，另一个斜率为0，此时四边形ABCD的面积为2，综合可得答案．
【解析】
（1）设P（x，y），由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴，故曲线C的方程为．
（2）①设直线，A（x1，y1），B（x2，y2），其坐标满足
消去y并整理得，
故．
以线段AB为直径的圆过坐标原点，则，即x1x2+y1y2=0．
而，
于是，
化简得-4k2+11=0，所以k2=．
②由①，，
将上式中的k换为得，
由于AB⊥CD，故四边形ABCD的面积为，
令k2+1=t，则，
而，故，故，
当直线l1或l2的斜率有一个不存在时，另一个斜率为0，不难验证此时四边形ABCD的面积为2，
故四边形ABCD面积的取值范围是．