Question

甲袋和乙袋中都装有大小相同的红球和白球，已知甲袋中共有m个球，乙袋中共有2m个球，从甲袋中摸出1个球为红球的概率为，从乙袋中摸出1个球为红球的概率为P₂．
（1）若m=10，求甲袋中红球的个数；
（2）若将甲、乙两袋中的球装在一起后，从中摸出1个红球的概率是，求P₂的值；
（3）设P₂=，若从甲、乙两袋中各自有放回地摸球，每次摸出1个球，并且从甲袋中摸1次，从乙袋中摸2次．设ξ表示摸出红球的总次数，求ξ的分布列和数学期望．

Answer

（1）根据题意设甲袋中红球的个数为x，从甲袋中摸出1个球为红球的概率为，根据等可能事件的概率求法做出红球的个数．
（2）从甲袋中摸出1个球为红球的概率为，甲袋中红球的个数m，从乙袋中摸出1个球为红球的概率为P2．乙袋中有红球2mp2，相加得到红球总数，根据概率列出方程，得到结果．
（3）由题意知ξ表示摸出红球的总次数，它的取值是0、1、2、3，在两个袋子中摸球相互之间没有影响，所以是相互独立事件同时发生，做出概率，列出分布列，算出期望．
【解析】
（Ⅰ）设甲袋中红球的个数为x，
∵从甲袋中摸出1个球为红球的概率为，
∴依题意得x=10×=4．

（Ⅱ）∵从甲袋中摸出1个球为红球的概率为，
∴甲袋中红球的个数m，
∵从乙袋中摸出1个球为红球的概率为P2．
∴乙袋中有红球2mp2
由已知得：，
解得P2=．

（Ⅲ）由题意知ξ表示摸出红球的总次数，它的取值是0、1、2、3，
在两个袋子中摸球相互之间没有影响，所以是相互独立事件同时发生，
∴，
，
，
．
∴ξ的分布列为

∴Eξ=0×+1×+2×+3×=．