Question

设椭圆C：（a＞0）的两个焦点是F₁（-c，0）和F₂（c，0）（c＞0），且椭圆C与圆x²+y²=c²有公共点．
（Ⅰ）求a的取值范围；
（Ⅱ）若椭圆上的点到焦点的最短距离为，求椭圆的方程；
（Ⅲ）对（2）中的椭圆C，直线l：y=kx+m（k≠0）与C交于不同的两点M、N，若线段MN的垂直平分线恒过点A（0，-1），求实数m的取值范围．

Answer

（Ⅰ）由已知，a＞1，方程组有实数解，从而，由此能得到a的取值范围．
（Ⅱ）设椭圆上的点P（x，y）到一个焦点F2（c，0）的距离为d，则
=（-a≤x≤a）．由，当x=a时，dmin=a-c，于是，，由此能导出所求椭圆方程．
（Ⅲ）由，得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2-1）=0．由直线l与椭圆交于不同两点，知△＞0，由此入手能求出实数m的取值范围．
【解析】
（Ⅰ）由已知，a＞1，
∴方程组有实数解，从而，
故c2≥1，所以a2≥2，即a的取值范围是．
（Ⅱ）设椭圆上的点P（x，y）到一个焦点F2（c，0）的距离为d，
则
=（-a≤x≤a）．
∵，
∴当x=a时，dmin=a-c，
（可以直接用结论）
于是，，
解得．
∴所求椭圆方程为．
（Ⅲ）由
得（3k2+1）x2+6mkx+3（m2-1）=0（*）
∵直线l与椭圆交于不同两点，
∴△＞0，即m2＜3k2+1．①
设M（x1，y1）、N（x2，y2），则x1、x2是方程（*）的两个实数解，
∴，
∴线段MN的中点为，
又∵线段MN的垂直平分线恒过点A（0，-1），
∴AQ⊥MN，
即，即2m=3k2+1（k≠0）②
由①，②得m2＜2m，0＜m＜2，又由②得，
∴实数m的取值范围是．