Question

如图，在正三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AB=4，AA₁=，点D是BC的中点，点E在AC上，且DE⊥A₁E．
（1）证明：平面A₁DE⊥平面ACC₁A₁；
（2）求直线AD和平面A₁DE所成角的正弦值．

Answer

（1）先由正三棱柱ABC-A1B1C1的性质知AA1⊥平面ABC，⇒DE⊥AA1．再由DE⊥A1E⇒DE⊥平面ACC1A1．即可得出结论；
（2）设O是AC的中点．先建立一个以O为原点建立空间直角坐标系，得到相关各点的坐标．再利用线面角的求法在空间直角坐标系内找到直线AD和平面A1DE所成角的正弦值即可．
【解析】
（1）证明：如图所示，由正三棱柱ABC-A1B1C1的性质知AA1⊥平面ABC．
又DE⊂平面ABC，
所以DE⊥AA1．
而DE⊥A1E．AA1∩A1E=A1，
所以DE⊥平面ACC1A1．
又DE⊂平面A1DE，
故平面A1DE⊥平面ACC1A1．

（2）如图所求，设O是AC的中点，以O为原点建立空间直角坐标系，
则相关各点的坐标分别是
A（2，0，0），A1（2，0，），D（-1，，0），E（-1，0，0）．
易知=（-3，，-），
=（0，-，0），
=（-3，，0）．
设n=（x，y，z）是平面A1DE的一个法向量，
解得x=-z，y=0．
故可取n=（，0，-3）．
于是cos＜n，A＞═
=-．
由此即知，直线AD和平面A1DE所成角的正弦值为．