Question

如图，M、N、P分别是正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱AB、BC、DD₁上的点．
（1）若=，求证：无论点P在D₁D上如何移动，总有BP⊥MN；
（2）若D₁P：PD=1：2，且PB⊥平面B₁MN，求二面角M-B₁N-B的余弦值；
（3）棱DD₁上是否总存在这样的点P，使得平面APC₁⊥平面ACC₁？证明你的结论．

Answer

（1）连接AC、BD，根据正方形的性质得BD⊥AC，又由=，可得MN∥AC，故BD⊥MN，再由正方体的性质可得DD1⊥平面ABCD，结合线面垂直的性质及线面垂直的判定，易得无论点P在D1D上如何移动，总有BP⊥MN；
（2）以D为坐标原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间坐标系，设正方体的棱长为1，AM=NC=t，分别求出平面MNB1的法向量和平面BB1N的法向量，代入向量夹角公式即可得到二面角M-B1N-B的余弦值；
（3）由已知中BD⊥AC，BD⊥CC1，易根据线面垂直的判定定理得到BD⊥平面ACC1．取BD1的中点E，连PE，根据线面垂直的判定定理得PE⊥平面ACC1．再由面面垂直的判定定理即可得到平面APC1⊥平面ACC1．
证明：（1）连接AC、BD，则BD⊥AC，
∵=，
∴MN∥AC，∴BD⊥MN．
又∵DD1⊥平面ABCD，
∴DD1⊥MN，
∵BD∩DD1=D，∴MN⊥平面BDD1．
又P无论在DD1上如何移动，总有BP⊂平面BDD1，
∴无论点P在D1D上如何移动，总有BP⊥MN．
（2）以D为坐标原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的坐标系．设正方体的棱长为1，AM=NC=t，
则M（1，t，0），N（t，1，0），B1（1，1，1），
P（0，0，），B（1，1，0），A（1，0，0），
∵=（0，1-t，1），
B=
又∵BP⊥平面MNB1，
∴•B=0，
即t-1+=0，∴t=，
∴=（0，，1），
M=（-，，0）．
设平面MNB1的法向量n=（x，y，z），
由，
得x=y，z=-y．
令y=3，则n=（3，3，-2）．
∵AB⊥平面BB1N，
∴AB是平面BB1N的一个法向量，AB=（0，1，0）．
设二面角M-B1N-B的大小为θ，
∴cos＜n，A＞
=
=．
则二面角M-B1N-B的余弦值为．
（3）存在点P，且P为DD1的中点，
使得平面APC1⊥平面ACC1．
证明：∵BD⊥AC，BD⊥CC1，
∴BD⊥平面ACC1．
取BD1的中点E，连PE，
则PE∥BD，
∴PE⊥平面ACC1．
∵PE⊂平面APC1，
∴平面APC1⊥平面ACC1．