Question

A是△BCD平面外的一点，E、F分别是BC、AD的中点，
（1）求证：直线EF与BD是异面直线；
（2）若AC⊥BD，AC=BD，求EF与BD所成的角．

Answer

（1）假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，得到A、B、C、D在同一平面内，矛盾．
（2）取CD的中点G，利用三角形中位线的性质找出异面直线成的角∠FEG，把此角放在一个三角形中，
解此三角形，求出此角的大小．
（1）证明：用反证法．设EF与BD不是异面直线，
则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，
所以A、B、C、D在同一平面内，
这与A是△BCD平面外的一点相矛盾．
故直线EF与BD是异面直线．
（2）【解析】
取CD的中点G，连接EG、FG，由于E、F分别是BC、AD的中点，
则EG平行且等于BD，FG平行且等于AC，
所以相交直线EF与EG所成的锐角或直角即为异面直线EF与BD所成的角．
由AC⊥BD，AC=BD，可得EG⊥GF，EG=GF．故等腰Rt△EGF中，有∠FEG=45°，
即异面直线EF与BD所成的角为45°．